생일 문제(生日問題)란 확률론에서 유명한 문제로, 몇 명 이상 모이면 그 중에 생일이 같은 사람이 둘 이상 있을 확률이 충분히 높아지는지를 묻는 문제이다. 얼핏 생각하기에는 생일이 365~366가지이므로 임의의 두 사람의 생일이 같을 확률은 1/365~1/366이고, 따라서 365명쯤은 모여야 생일이 같은 사람이 있을 것이라고 생각하기 쉽다. 그러나 실제로는 23명만 모여도 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 50%를 넘고, 57명이 모이면 99%를 넘어간다. 이 사실은 일반인의 직관과 배치되기 때문에 생일 역설이나 생일 패러독스라고도 한다.

예전에 한 번 나온 얘기입니다만.....



"50명 정도되는 사람이 모여 있을때 생일이 같은 사람이 있다."



이런 문제에 내기를 건다고 하면 당신은 어느 쪽에????

"있다" 쪽에 거는게 현명하다. 적어도 확율에서 보면 그렇다!!



<해설>

확율적으로 보면 생일이 같은 사람이 없을 확률은 3%밖에 안된다.

이 문제는 생일역설(birthday paradox)이라는 이름으로 잘 알려진 문제다.

50명 중 1번 사람이 365일 중 임의의 날이 생일이다. 2번 사람이 1번과 생일이 다르려면 그 날짜를 제외한 364일 중 하루를 택해야 한다.

즉 확률은 (365- 1)/365=1-(1/365)이다. 3번 사람이 1, 2번과 생일이 다르려면 역시 앞의 두 날짜를 제외한 363일 중 하루가 생일이어야 한다. 확률은 (365-2)/365=1-(2/365)다.

제각각 다른 날짜를 골라 50번째 학생이 앞의 49명과다른 날짜를 고를 확률은 1- (49/365)가 된다. 이렇게 50명이 모두 생일이 다를 확률, 즉 365일 중 서로 다른 날짜를 뽑을 확률은 {1-(1/365)}x{1-(2/365)}x{1-(3/365 )}x.x{1-(49/365)}가 된다.



n명의 사람이 있을 때 그 중 생일이 같은 사람이 둘 이상 있을 확률을 p(n)이라고 한다면, 반대로 모든 사람의 생일이 다를 확률 은



1 − p(n)이 된다. 먼저 을 구해보면, 두번째 사람의 생일은 첫번째 사람과 다르고, 세번째 사람의 생일은 첫번째와 두번째 모두와



달라야 하므로

계산해 보면 2.9%다. 생일 같은 사람이 있을 확률은 1에서 이를뺀 값 즉 97%가 넘는다.





사실 23명만 모여 있어도 최소한 2명의 생일이 같을 확률이 50%가 넘는다. 이 확률은 사람수가 증가함에 따라 급속히 높아진다.

어느 집단이 50명 정도 있다면 거의 확실하게 생일이 같은 사람들이 있다는 거죠.