회원님들 안녕하세요.

혹시 수학이 좀 되시는 분 계시면 이 문제좀 풀어 주세요....

관심없으시분들께는 대단히 죄송합니다!!



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우리카페는 아침 9시부터 저녁 6시까지는 카페로, 저녁 6시부터 주점으로 12시까지 영업을 합니다.



우리카페는 좌석이 전체 A(=S+R)개가 있으며, 그 중 R개의 좌석은 저녁 6시부터의 주점 영업을 위하여 비워주어야 합니다. R명의 손님이 6시부터 사용하기로 예약을 하였습니다. 보통 저녁 4시가 되면 R개가 몇 개인지를 알 수 있으며, 6시에는 R개의 자리가 비워져 있어야 합니다.



카페의 손님은 포아송 분포로 들어오며, 단위시간당 L명이 평균입니다. f(x;L) = L^x*exp(-L)/x!



카페에 손님이 앉아있는 시간은 평균이 B인 지수분포를 따릅니다. (예, 30분) F(x;B) = 1-exp(-x/B)



임의의 시각에 카페의 손님의 수를 J라고 할 때, 저녁 6시에 J가 S(=A-R)를 초과한 경우라면, J-S의 손님은 자리를 비워주어야 하기 때문에 그 손님들의 기분이 상할 가능성이 높으므로 확률적으로 미리 손님을 거절하고자 합니다.



9시부터 4시까지는 A를 초과하지 않는다면 손님은 모두 받습니다. 그러나 4시가 되면 R명을 알수 있으므로 4시 이후에는 새로운 손님이 올 때마다, 현재 카페내의 손님이 S명 미만이라면 받지만 그러지 않다면, 확률적으로 손님을 받거나 거절합니다. 알고리즘은 아래와 같습니다. 단, 손님이 한꺼번에 여러 명이 함께 오는 경우를 배제하고, 1명씩 들어온다고 가정합니다.



- 기존의 손님(J)들 각각에 대하여 6시 이전에 나갈 확률, F_J(t_j;B)을 합하여 6시 이전에 떠날 손님들의 기대값을 구합니다, 여기서 F_J(t_j;B)는 지수분포의 CDF로 t_j는 6시-각손님의입장시각 입니다.

- 현재 입장하고자 하는 한 손님(n)에 대하여 6시 이전에 나갈 확률, F_n(t_n;B)을 구하여 6시 이전에 떠날 기대값을 구합니다, 여기서 F_n(t_n;B)는 지수분포의 CDF로 t_n는 6시-현재시각 입니다.

- (J+1)-(F_J(t_j)+F_n(t_n ))≤S 이면 손님 n을 받고 그렇지 않으면 거절합니다.



여기서,

9시에서 4시까지의 손님 수의 평균과 손님을 거절하는 확률은 Markov chain을 통해서 구할 수 있습니다만,

4시부터 6시까지의 손님 수의 평균, 손님을 거절하는 확률

6시에, S명을 초과할 확률 및 손님 수의 평균

위에서 손님의 예약시간이 4시라고 했는데 B를 고려하여 언제를 예약을 받는 deadline으로 정해야 R석의 자리를 안정적으로 비울 수 있는지 (예, 6시-B)

를 어떻게 구할 수 있을까요?

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jlha@etri.re.kr로 회신주시면 너무 고맙겠습니다.



감사합니다.

하정락 드림